Por que será que odiamos Matemática?

Através dos vídeos abaixo, tendo inclusive servido como introdução à um trabalho de psicologia acerca de Educação Matemática, poderemos descobrir o prazer em aprender e desmestificar aquela aparência de monstro que a matemática proporciona aos discentes na utilização dos livros.

SISTEMA INDO-ARÁBICO DE NUMERAÇÃO

Vivemos hoje no mundo dos números:

• NAS CONTAGENS.
  

1. Quantos anos você têm?
2. Qual o horário que você levanta?
3. Que horário você vai à escola?
4. Quantos alunos há em sua sala de aula?
   
   

• NAS ORDENAÇÕES.
  

1. Qual a colocação de quem chega a frente de todos competidores?
2. Medalha de prata em uma olimpiada representa que colocação?
3. Se você reside em Edificio (prédio), qual o andar que mora?
   

• NOS CÓDIGOS.

1. Qual o número de sua casa? de seu prédio? de seu apartamento?
2. Qual o número do CEP de sua residência?
3. Qual o número do DDD de sua cidade?
4. Qual o número que devemos utilizar para solicitar serviço da Polícia Militar?

Tudo lembra números.
Masssssssssss como começou esse "tal número" né?
Há milhares de anos, o ser humano já contava pequenas quantidades: os animais que caçava, os objetos que fazia, as mudanças de lua que observava para medir o tempo.
Massssssss o que utilizava para contar se ainda não existiam os símbolos? Usava os dedos da mão, pedrinhas, etc.
Masssss até hoje muitas crianças utilizam esses métodos. Posso condená-las? Não. O que importa que aprendam. Seja de uma forma "à moda antiga", ou não.

Passamos pelos sistemas egípcios, maias, romanos (até hoje utilizados) até chegarmos aos indo-arábicos.



























































SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO





Há cerca de vinte séculos, os romanos utilizavam letras máiúsculas, como símbolos, para representar os números:

























I II III IV V VI VII VIII IX X L C D M



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 100 500 1000

























Ainda hoje utilizamos a numeração romana. Por exemplo, em alguns relógios, em alguns livros para indicar capítulos, em nome de papas, etc.

























COMO DESCOBRIR QUAL É O NÚMERO ESCRITO NA NUMERAÇÃO ROMANA?

























Siga algumas regras:

• devemos somar seus valores quando os símbolos são iguais;

II = 1+1 = 2 XX = 10+10 = 20

• devemos somar seus valores quando os símbolos da esquerda são maiores que os da direita;

XVII = 10+5+2 = 17 CLXI = 100+50+10+1 = 161

• devemos subtrair seus valores quando um símbolo da esquerda é menor que o da direita;

CIX: C = 100; IX= 9 (10-1), logo: 100+9=109

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;



• se a <>

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o

radicando discriminante, a saber:

• quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando é zero, há só uma raiz real;
• quando é negativo, não há raiz real.
  

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a <>

Construção da Parábola

É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< x =" 0" y =" a" c =" c;" y =" f(x)" discriminante =" b2"> 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0
quando a <>

2º - = 0

quando a > 0




quando a <>

3º - <>
quando a > 0 quando a <>

Veja o video:http://www.youtube.com/watch?v=CgtHclkTSU8

ESTUDO DAS FRAÇÕES

I - INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FRAÇÃO
Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.
Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:
Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

* Você concorda com esta divisão? Por quê?
* Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?
* O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.

II - DEFINIÇÃO DE FRAÇÃO

Numerador
Denominador

* Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração.

*Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.
Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:
1
4



III - FRAÇÕES EQUIVALENTES
De uma parte inteira podemos retirar várias frações, umas que irão representar quantidades diferentes e outras que representarão uma mesma quantidade, essas são conhecidas como frações equivalentes.
As frações equivalentes deverão sempre pertencer ao mesmo inteiro, por exemplo, considere a barra retangular como sendo 1 inteiro.

Se dividirmos esse inteiro em 2 partes iguais e considerarmos 1 parte, esse irá representar meia:

Se dividimos esse mesmo inteiro em 4 partes iguais e considerarmos 2 partes, essa irá representar do inteiro.

Se dividirmos esse inteiro em 16 partes iguais e considerar 8 partes, essa irá representar do inteiro.

Todas essas frações são equivalentes entre si. Pois representam a metade de um mesmo inteiro. Veja a comparação feita:

Para indicarmos que uma fração é equivalente à outra, utilizamos o símbolo matemático ~ ou o símbolo da igualdade =.

IV - PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS FRAÇÕES

Para se obter uma fração equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador da fração dada por um mesmo número natural, porem diferente de zero.

Ex.: a) 2/3 - (2 x 4 = 8) e (3 x 4 = 12). Logo 2/3 = 8/12

b) 8/6 - ( 8 : 2 = 4) e (6 : 2 = 3). Logo 8/6 ~ 4/3

Obs.: Notem que utilizei os dois símbolos de equivalência ( = e ~).



V - FRAÇÃO IRREDUTÍVEL

Observe as figuras abaixo:



2/4 8/16




Como já vimos, todas essas frações são equivalentes. Vimos também, que podemos criar infinitas frações multiplicando numerador e denominador.
Observe que sempre terá uma fração, que é a mais "simples", ou seja, aquela que possuem o menor número de partes possível (ou o maior pedaço). Essa é a fração irredutível.
Numericamente, podemos identificar uma fração irredutível quando não é mais possível dividir o numerador e denominador por um mesmo número, o que significa que ela não pode ter sido gerado de multiplicações de outras frações.
Exemplos:
8/16 - podemos dividir o 8 e o 16 por 2 e obteremos a fração equivalente4/8; 4/8 -podemos dividir o 4 e o 8 por 2 e obteremos a fração equivalente 2/4;
2/4 -podemos ldividir o 2 e o 4 por 2 e obteremos a fração equivalente 1/2;
1/2 - NÃO podemos mais dividir por número nenhum, então esta é a fração irredutível.
Ao processo de achar a fração irredutível damos o nome de simplificação de fração.
Exemplos de simplificação de frações:
1) Simplifique a fração 9/12 .
9/12 → podemos dividir numerador e denominador por 3 → 3/4
como o 3 e o 4 não possuem divisores comuns (não tem nenhum número que divida os dois) então a fração irredutível de 9/12 é 3/4.

2) Simplique a fração 12/18.
12/18 → dividindo numerador e denominador por 2 → 6/9
6/9 → dividindo numerador e denominador por 3 → 2/3 ( não tem mais divisores comuns)
Então a fração irredutível é 2/3.
Observe que a fração 6/9 ainda não é a fração irredutível, pois ainda tem o divisor comum 3.
Observe também que você poderia ter dividido por 6 ( que é o máximo divisor comum de 12 e 18) e achado a resposta direto.

3) Simplifique a fração 240/300 (UMA FRAÇÃO COM NUMERADOR E DENOMINADOR DE VALORES ELEVADOS).
Neste caso poderemos utilizar:

• O MDC entre 240 e 300 que será 60;
• 240/300 → dividindo numerador e denominador por 60 → 4/5. (FRAÇÃO IRREDUTÍVEL)
• Utilizar o método de simplificação;
• 240/300 → dividindo numerador e denominador por 2 → 120/150
• 120/150 → dividindo numerador e denominador por 2 → 60/75
• 60/75 → dividindo numerador e denominador por 3 → 20/25
• 20/25 → dividindo numerador e denominador por 5 → 4/5. (FRAÇÃO IRREDUTÍVEL).

VI - COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES

a) Ao compararmos as frações, e caso as mesmas possuirem o mesmo denominador, a maior delas, nesse caso, será a que possuir o maior numerador.

Ex.: 10/20 e 15/20, logo 10/20 < denominadores =" 20">

b) Ao compararmos as frações, e caso as mesmas possuirem denominadores diferentes, precisamos encontrar o MMC entre os denominadores para igualá-los.

Ex.: 5/2 e 9/10

MMC entre 2 e 10 é 10;

5/2 = (10:2) x 5 = 25 → 5/2 = 25/10

9/10 = (10:10) x 9 = 9 → 9/10 = 9/10

25/10 > 9/10 ou seja 5/2 > 9/10.

VII - FRAÇÃO DE UM NÚMERO

É o cálculo de uma determinada fração sobre um determinado número. Nesse caso o número deverá ser primeiramente dividido pelo denominador da fração, sendo o quociente (resultado da divisão), depois, multiplicado pelo numerador.

Ex.: Calcule 2/6 de 30.

30 : 6 = 5
5 x 2 = 10

2/6 de 30 será igual a 10.

VIII - OPERÃÇÕES COM FRAÇÕES

1) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1A) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM DENOMINADORES IGUAIS.

Numa adição ou subtração com denominadores iguais, deve-se manter o mesmo valor do denominador e somar, ou subtrair, somente, os numeradores.

Ex.: a) 4/9 + 2/9 = 4+2/9 = 6/9

b) 2/8 + 1/8 + 3/8 = 2+1+3/8 = 6/8

1B) ADIÇÃO COM DENOMINADORES DIFERENTES.

Numa aldição com denominadores diferentes, deve-se primeiro calcular o MMC entre os denominadores, para igualá-los. Após igualá-los devemos dividir o denominador localizado no MMC por cada denominador fornecido anteriormente e depois o reslultado (quociente) multiplicado pelo seu numerador correspondente.

Ex.: a) 1/2 + 1/3 + 1/6 =

MMC (2,3,6) = 6

1/2 → (6:2) x 1 = 3 → 1/2 = 3/6

1/3 → (6:3) x 1 = 2 → 1/3 = 2/6

1/6 → (6:6) x 1 = 1 → 1/6 = 1/6

3/6 + 2/6 + 1/6 = 3+2+1/6 = 6/6 = 1

b) 3/1 + 1/2 =

MMC (1,2) = 2

3/1 → (2:1) x 3 = 6 → 3/1 = 6/2

1/2 → (2:2) x 1 = 1 → 1/2 = 1/2

6/2 + 1/2 = 6+1/2 = 7/2