ESTUDO DAS FRAÇÕES

I - INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FRAÇÃO
Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.
Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:
Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

* Você concorda com esta divisão? Por quê?
* Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?
* O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.

II - DEFINIÇÃO DE FRAÇÃO

Numerador
Denominador

* Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração.

*Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.

Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.
Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:
1
4



III - FRAÇÕES EQUIVALENTES
De uma parte inteira podemos retirar várias frações, umas que irão representar quantidades diferentes e outras que representarão uma mesma quantidade, essas são conhecidas como frações equivalentes.
As frações equivalentes deverão sempre pertencer ao mesmo inteiro, por exemplo, considere a barra retangular como sendo 1 inteiro.

Se dividirmos esse inteiro em 2 partes iguais e considerarmos 1 parte, esse irá representar meia:

Se dividimos esse mesmo inteiro em 4 partes iguais e considerarmos 2 partes, essa irá representar do inteiro.

Se dividirmos esse inteiro em 16 partes iguais e considerar 8 partes, essa irá representar do inteiro.

Todas essas frações são equivalentes entre si. Pois representam a metade de um mesmo inteiro. Veja a comparação feita:

Para indicarmos que uma fração é equivalente à outra, utilizamos o símbolo matemático ~ ou o símbolo da igualdade =.

IV - PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS FRAÇÕES

Para se obter uma fração equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador da fração dada por um mesmo número natural, porem diferente de zero.

Ex.: a) 2/3 - (2 x 4 = 8) e (3 x 4 = 12). Logo 2/3 = 8/12

b) 8/6 - ( 8 : 2 = 4) e (6 : 2 = 3). Logo 8/6 ~ 4/3

Obs.: Notem que utilizei os dois símbolos de equivalência ( = e ~).



V - FRAÇÃO IRREDUTÍVEL

Observe as figuras abaixo:



2/4 8/16




Como já vimos, todas essas frações são equivalentes. Vimos também, que podemos criar infinitas frações multiplicando numerador e denominador.
Observe que sempre terá uma fração, que é a mais "simples", ou seja, aquela que possuem o menor número de partes possível (ou o maior pedaço). Essa é a fração irredutível.
Numericamente, podemos identificar uma fração irredutível quando não é mais possível dividir o numerador e denominador por um mesmo número, o que significa que ela não pode ter sido gerado de multiplicações de outras frações.
Exemplos:
8/16 - podemos dividir o 8 e o 16 por 2 e obteremos a fração equivalente4/8; 4/8 -podemos dividir o 4 e o 8 por 2 e obteremos a fração equivalente 2/4;
2/4 -podemos ldividir o 2 e o 4 por 2 e obteremos a fração equivalente 1/2;
1/2 - NÃO podemos mais dividir por número nenhum, então esta é a fração irredutível.
Ao processo de achar a fração irredutível damos o nome de simplificação de fração.
Exemplos de simplificação de frações:
1) Simplifique a fração 9/12 .
9/12 → podemos dividir numerador e denominador por 3 → 3/4
como o 3 e o 4 não possuem divisores comuns (não tem nenhum número que divida os dois) então a fração irredutível de 9/12 é 3/4.

2) Simplique a fração 12/18.
12/18 → dividindo numerador e denominador por 2 → 6/9
6/9 → dividindo numerador e denominador por 3 → 2/3 ( não tem mais divisores comuns)
Então a fração irredutível é 2/3.
Observe que a fração 6/9 ainda não é a fração irredutível, pois ainda tem o divisor comum 3.
Observe também que você poderia ter dividido por 6 ( que é o máximo divisor comum de 12 e 18) e achado a resposta direto.

3) Simplifique a fração 240/300 (UMA FRAÇÃO COM NUMERADOR E DENOMINADOR DE VALORES ELEVADOS).
Neste caso poderemos utilizar:

• O MDC entre 240 e 300 que será 60;
• 240/300 → dividindo numerador e denominador por 60 → 4/5. (FRAÇÃO IRREDUTÍVEL)
• Utilizar o método de simplificação;
• 240/300 → dividindo numerador e denominador por 2 → 120/150
• 120/150 → dividindo numerador e denominador por 2 → 60/75
• 60/75 → dividindo numerador e denominador por 3 → 20/25
• 20/25 → dividindo numerador e denominador por 5 → 4/5. (FRAÇÃO IRREDUTÍVEL).

VI - COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES

a) Ao compararmos as frações, e caso as mesmas possuirem o mesmo denominador, a maior delas, nesse caso, será a que possuir o maior numerador.

Ex.: 10/20 e 15/20, logo 10/20 < denominadores =" 20">

b) Ao compararmos as frações, e caso as mesmas possuirem denominadores diferentes, precisamos encontrar o MMC entre os denominadores para igualá-los.

Ex.: 5/2 e 9/10

MMC entre 2 e 10 é 10;

5/2 = (10:2) x 5 = 25 → 5/2 = 25/10

9/10 = (10:10) x 9 = 9 → 9/10 = 9/10

25/10 > 9/10 ou seja 5/2 > 9/10.

VII - FRAÇÃO DE UM NÚMERO

É o cálculo de uma determinada fração sobre um determinado número. Nesse caso o número deverá ser primeiramente dividido pelo denominador da fração, sendo o quociente (resultado da divisão), depois, multiplicado pelo numerador.

Ex.: Calcule 2/6 de 30.

30 : 6 = 5
5 x 2 = 10

2/6 de 30 será igual a 10.

VIII - OPERÃÇÕES COM FRAÇÕES

1) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1A) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM DENOMINADORES IGUAIS.

Numa adição ou subtração com denominadores iguais, deve-se manter o mesmo valor do denominador e somar, ou subtrair, somente, os numeradores.

Ex.: a) 4/9 + 2/9 = 4+2/9 = 6/9

b) 2/8 + 1/8 + 3/8 = 2+1+3/8 = 6/8

1B) ADIÇÃO COM DENOMINADORES DIFERENTES.

Numa aldição com denominadores diferentes, deve-se primeiro calcular o MMC entre os denominadores, para igualá-los. Após igualá-los devemos dividir o denominador localizado no MMC por cada denominador fornecido anteriormente e depois o reslultado (quociente) multiplicado pelo seu numerador correspondente.

Ex.: a) 1/2 + 1/3 + 1/6 =

MMC (2,3,6) = 6

1/2 → (6:2) x 1 = 3 → 1/2 = 3/6

1/3 → (6:3) x 1 = 2 → 1/3 = 2/6

1/6 → (6:6) x 1 = 1 → 1/6 = 1/6

3/6 + 2/6 + 1/6 = 3+2+1/6 = 6/6 = 1

b) 3/1 + 1/2 =

MMC (1,2) = 2

3/1 → (2:1) x 3 = 6 → 3/1 = 6/2

1/2 → (2:2) x 1 = 1 → 1/2 = 1/2

6/2 + 1/2 = 6+1/2 = 7/2